100次浏览 发布时间：2024-11-09 08:48:30
圆和球是非常神奇的几何形状，喜欢问问题的孩子应该都问过圆的面积为什么是π乘以半径平方，球的体积的公式又是怎么来的，还有圆锥的体积为什么是底面积乘以高之后，前面还要乘以三分之一类似的问题。这些问题的解释包含了朴素的微积分思想和祖暅原理。要是能很好地解释给孩子，让他们懂得其中的原理，这无疑会培养孩子们的数学兴趣。
一、圆的面积的形象解释
关于圆，小学生第一次知道了圆周率π，知道了这个“周三径一”的无理数，第一次接受了圆周长、圆面积这样精确的不完美。解释圆的面积时，小学数学课本有下面的一个图。把圆分割成很多微小的“圆三角形”，拼成一个矩形。割的小三角形越多，拼成的图形越接近矩形。这就是“化曲为直”的思想，很容易可以得到圆面积公式。
二、圆锥体积公式有个1/3的解释
那么如何解释圆锥体积是等底等高的圆柱体积的三分之一呢？小学课堂主要还是靠演示，老师拿透明的等底等高的圆柱和圆锥，圆锥盛水（或沙子），装满往圆柱倒三次，圆柱满了，说明两者体积是3倍关系。当然喜欢打破砂锅问到底的孩子一定不满足这样的解释。于是我们就可以开始一段充满逻辑，增长见识的奇异的数学之旅。
还是一样的道理，首先把等底等高的圆柱和圆锥如图细分，分得足够细，化曲为直，于是分出的每一小片就是一个三棱柱和对应的三棱锥。
接着观察等底等高的三棱柱和三棱锥之间的关系。这里先说一个结论，就是等底等高的三棱锥体积相等。这需要先来说一个原理，祖暅原理。
很形象地，上面同一堆作业，形状不同，但是每一层截面积处处都相等，体积肯定相等。
所以上图中，等底等高的两个三棱锥，由于相似关系，同一高度的截面积相等，于是由祖暅原理可知，等底等高的两个三棱锥，体积相等。
进一步推广，不光是棱锥体，圆锥也一样。只要是锥体，等底等高的锥体体积都相等。这样很容易由等积关系看出，如下三棱柱分成的三个三棱锥体积都相等，易得其中一个三棱锥就是等底等高的三棱柱体积的三分之一。
最后，回到最初那个图中，由于圆柱分割成许多近似的小三棱柱，圆锥分割成对应的许多小三棱锥，每一小块小三棱锥的体积都是对应小三棱柱体积的三分之一，因此最终的圆锥体积是等底等高的圆柱体积的三分之一。这个中学生可以完全理解。小学生理解力好的也可以理解。
三、球的体积的解释
来看下面一个有趣的结论，一个高和底面半径相等的圆柱，可以分割成如下三个体积相等的部分。
如上图，那个圆柱挖去那个圆锥部分之后，剩下三分之二的那个部分，刚好是球的体积的一半。圆柱的体积是π*r3，从而得到球的体积是三分之四派R立方。具体证明还是如下图所示的祖暅原理。感觉真的很神奇有没有！
也可以把球分割成很多小棱锥的方法来证明球的体积，如图小棱锥的高为半径，所有的小棱锥高都等于半径。每个小棱锥的体积都是各自底面积乘以高乘以三分之一，那么累加起来，球的体积就是球的表面积乘以半径乘以三分之一，当然，这里需要知道球的表面积为4倍的派R平方。这是另外话题了。或者干脆把这个方法当成球的表面积的一种推导方法。
四、圆面积周长、球表面积体积之间的关系等
关于这几个量之间的关系有：圆面积求导等于圆周长，球体积求导等于球的表面积。下图以圆为例解释，球的不好画，靠想象。当初知道这几个关系的时候，觉得太神奇了。希望现在的小学生、中学生能多点这样的体验，那就不是被动地在学习数学了。
上图也给了个球体积的积分计算，高中生应该能掌握。
其实还可以从一个类比的高维的观点解释圆锥体积公式中的三分之一。在二维平面中，圆锥对应的图形就是三角形，三角形的底是一维的线，三角形面积前面是乘以二分之一；那么到三维空间中，圆锥的底就升了一级，变成一个面，体积公式前面就得乘以三分之一了。至于更高维的空间，仅剩下数学的抽象，我们四维时空的人永远无法想象。或许宇宙的终极真理就摆在那，人类由于自身局限却永远无法掌握。
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